【求极限lim的常用公式有哪些】在数学分析中，求极限是微积分的重要基础之一，尤其是在处理函数在某一点附近的趋势时。掌握一些常用的极限公式和方法，有助于提高解题效率，减少计算错误。以下是对常见极限公式的总结，便于快速查阅与应用。
一、基本极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数的极限为其本身 |
| 2 | $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某点时，其值等于该点 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 常见三角函数极限 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限 |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限 |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数的扩展形式 |
| 7 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 极限定义中的自然常数e |
二、无穷小量与无穷大量关系
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 与$\sin x/x$类似，适用于正切函数 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0$） | 指数函数的导数形式 |
| 10 | $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$ | 与第6条类似，表达方式不同 |
| 11 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限 |
| 12 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1$ | 同样适用于反三角函数 |
| 13 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^n - 1}{x} = n$（$n$为实数） | 多项式展开的极限形式 |
三、极限的代数运算规则
| 规则 | 表达式 | 说明 |
| 14 | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim f(x) + \lim g(x)$ | 极限的加法法则 |
| 15 | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$ | 极限的乘法法则 |
| 16 | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$（若分母不为0） | 极限的除法法则 |
| 17 | $\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim f(x)$ | 常数倍法则 |
四、洛必达法则（L’Hospital Rule）
当遇到不定型极限如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
此法则要求$f(x)$和$g(x)$在$a$处可导，且$g'(x) \neq 0$。
五、泰勒展开与等价无穷小替换
对于复杂函数的极限问题，常常使用泰勒展开或等价无穷小进行近似处理：
- 当$x \to 0$时：
- $\sin x \sim x$
- $\tan x \sim x$
- $\ln(1 + x) \sim x$
- $e^x - 1 \sim x$
这些等价替换可以帮助简化极限运算，避免直接求导或使用洛必达法则。
总结
掌握上述常见的极限公式和方法，能够显著提升解题效率。实际应用中，还需结合具体题目灵活运用，比如通过因式分解、有理化、变量替换等方式将复杂表达式转化为已知形式。同时，注意极限存在的条件，避免误用公式导致结果错误。
