【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅与几何图形密切相关，还广泛应用于物理、工程等领域。掌握平面向量的相关公式是学好这部分内容的基础。以下是对平面向量常用公式的系统归纳，便于复习和查阅。
一、基本概念
| 名称 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 |
| 零向量 | 模为0的向量，方向不确定 |
| 单位向量 | 模为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且模相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反、模相等的向量 |
二、向量的运算
1. 向量的加法与减法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $\vec{a} + \vec{b}$ | 向量首尾相接，结果为从起点到终点的向量 |
| 减法 | $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ | 将$\vec{b}$反向后相加 |
2. 向量的数乘
| 运算 | 公式 | 说明 | ||||
| 数乘 | $k\vec{a}$ | $k$为实数，当$k>0$时方向不变，$k<0$时方向相反，模为$ | k | \vec{a} | $ |
三、向量的坐标表示
设向量$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 对应分量相加 |
| 减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 对应分量相减 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$ | 分量分别乘以k |
四、向量的模（长度）
| 公式 | 说明 | |||
| 模 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ | 向量的大小 |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 方向与原向量相同，模为1 |
五、向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | |||||
| 点积定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$为两向量夹角 | |
| 坐标形式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 用于计算角度或投影 | ||||
| 特殊情况 | 若$\vec{a} \perp \vec{b}$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
六、向量的叉积（仅适用于三维向量，但可推广至二维）
| 公式 | 说明 | |||||||
| 叉积（二维） | $\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$ | 表示两向量所形成的平行四边形面积的绝对值 | ||||||
| 大小 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | 与点积类似，但涉及正弦函数 |
七、向量的夹角
| 公式 | 说明 | |||||
| 夹角公式 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 用于计算两向量之间的夹角 | |
| 正交条件 | 若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$\vec{a} \perp \vec{b}$ |
八、向量的投影
| 公式 | 说明 | |||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影长度 |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ | 投影的向量形式 |
九、共线与垂直的判断
| 条件 | 判断方法 |
| 共线 | 若$\vec{a} = k\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$共线 |
| 垂直 | 若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直 |
十、向量的线性组合与基底
| 内容 | 说明 | |
| 线性组合 | $\vec{c} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b}$ | 向量$\vec{c}$由$\vec{a}$和$\vec{b}$线性组合而成 |
| 基底 | 若$\vec{a}$和$\vec{b}$不共线，则它们可以作为平面向量空间的一组基底 |
通过以上对平面向量相关公式的整理，我们可以更清晰地理解向量的基本性质和运算规则。这些公式不仅是考试中的重点，也是实际问题中解决几何与物理问题的重要工具。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
