【行列式如何展开】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵求解、方程组分析等领域。行列式的展开是计算其值的关键步骤，常见的展开方法包括按行展开（余子式展开）和按列展开。以下是对行列式展开方法的总结。

一、行列式展开的基本概念

行列式是一个与方阵相关的标量值，记作 $ A $ 或 $ \det(A) $。对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其行列式的计算可以通过余子式展开进行。

1. 余子式（Cofactor）

对于元素 $ a_{ij} $，其对应的余子式 $ C_{ij} $ 定义为：

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式。

2. 展开方式

行列式可以按任意一行或一列展开，公式如下：

- 按第 $ i $ 行展开：

$$

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}

$$

- 按第 $ j $ 列展开：

$$

\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}

$$

二、行列式展开的步骤

三、行列式展开的示例（3×3矩阵）

考虑如下3×3矩阵：

$$

A = \begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i \\

\end{bmatrix}

$$

按第一行展开：

$$

\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \cdot \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \cdot \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

$$

即：

$$

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$

四、行列式展开的优缺点对比

五、总结

行列式的展开是一种基本而重要的计算方法，通过余子式的方式可以逐步降低计算难度。在实际应用中，合理选择展开行或列可以显著提高计算效率。掌握这一方法不仅有助于理解矩阵的性质，也为后续学习特征值、逆矩阵等内容打下基础。