【tan105度等于多少】在三角函数中，tan（正切）是一个常见的函数，用于描述直角三角形中对边与邻边的比值。当角度为105度时，tan105°的值可以通过三角恒等式或计算器进行计算。本文将总结tan105°的数值，并以表格形式展示相关数据。
一、tan105°的计算方法
105度可以表示为两个已知角度的和：
105° = 60° + 45°
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
代入 $a = 60^\circ$，$b = 45^\circ$：
- $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
- $\tan 45^\circ = 1$
则：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
为了简化这个表达式，可以将分子和分母同时乘以 $1 + \sqrt{3}$，得到：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
= \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3}
= \frac{(3 + 2\sqrt{3} + 1)}{-2}
= \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}
= -2 - \sqrt{3}
$$
因此，tan105° 的精确值为 $-2 - \sqrt{3}$。
二、tan105° 的近似值
使用计算器可得：
$$
\tan(105^\circ) \approx -3.732
$$
这是一个近似值，适用于实际计算中的应用。
三、表格展示
| 角度 | 正切值（精确） | 正切值（近似） |
| 105° | $-2 - \sqrt{3}$ | -3.732 |
四、总结
tan105° 是一个负数，因为105度位于第二象限，而正切函数在第二象限为负。通过三角恒等式可以得出其精确表达式为 $-2 - \sqrt{3}$，而使用计算器可得其近似值约为 -3.732。这一结果在数学、物理和工程等领域具有实际应用价值。
